n階矩陣a與對角陣相似的充要條件是：a有n個線性無關的特徵向量。
充要條件是如果能從命題p推出命題q，而且也能從命題q推出命題p ，則稱p是q的充分必要條件，且q也是p的充分必要條件。如果有事物情況a，則必然有事物情況b；如果有事物情況b，則必然有事物情況a，那麼b就是a的充分必要條件 ( 簡稱：充要條件 )，反之亦然 。
判別一個矩陣是否相似於對角矩陣。
1.是否是實對稱矩陣，實對稱矩陣必相似於對角矩陣。
2.特徵值是否有單根，若有，則相似於對角矩陣。
3.r重根是否有r個線性無關的特徵向量，有則相似於對角矩陣。
比較常用的充要條件：
1.a的極小多項式沒有重根
2.a的jordan塊都是1×1的
3.a在複數域上的初等因子都是1次多項式
4.a具有完全特徵向量系
比較常用的充分條件：
1.a沒有重特徵值
2.a是正規陣(aa’=a’a)
你的這一結論沒有依據。
例如3階矩陣a10
0021
002顯然a的特徵值為1，2，2
但是你能告訴我，它能相似對角矩陣嗎？
答案是，這個矩陣不能相似對角陣。
這裡簡單說明一下，根據相似的定義，
p-1ap
=diag(λ1，λ2，…，λn）
那麼ap=p
diag(λ1，λ2，…，λn）
因為p可逆，設p=(α1，α2，…，αn)，如果αi是a的特徵向量。
那麼上面相似的定義就是
a(α1，α2，…，αn)
=(λ1α1，λ2α2，…，λnαn)=(α1，α2，…，αn)diag(λ1，λ2，…，λn）這也就說明了我們求相似矩陣中的p，其過程是求解a的特徵向量了。
也說明了為什麼相似對角陣的元素是a的特徵值了。
正是由於上面的定義造成的。
也就是說只有當p的列向量是a的特徵向量時，上述相似對角陣定義才成立。
因為要求p可逆，所以p的n個列向量必須線性無關。也就是a的特徵向量必然線性無關。
否則p不可逆，則相似定義不成立，當然也就不可以相似對角陣了。
newmanhero
2015年5月24日22:32:58
希望對你有所幫助，望採納。
n階矩陣a與對角陣相似的充要條件
n階矩陣a與對角矩陣相似的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量!
證明：（1）充分性：n階矩陣a有n個線性無關的特徵向量，則a與對角矩陣相似
（2）必要性：n階矩陣a與對角矩陣相似，則a有n個線性無關的特徵向量拓展資料
1、在數學中，矩陣（matrix）是一個按照長方陣列排列的複數或實數集合?[1]??，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。
2、矩陣是高等代數學中的常見工具，也常見於統計分析等應用數學學科中。?[2]??在物理學中，矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。關於矩陣相關理論的發展和應用，請參考矩陣理論。
在天體物理、量子力學等領域，也會出現無窮維的矩陣，是矩陣的一種推廣。
你的這一結論沒有依據。
例如3階矩陣a
1 0 0
0 2 1
0 0 2
顯然a的特徵值為1，2，2
但是你能告訴我，它能相似對角矩陣嗎？
答案是，這個矩陣不能相似對角陣。
這裡簡單說明一下，根據相似的定義，
p-1ap = diag(λ1，λ2，…，λn）
那麼ap = p diag(λ1，λ2，…，λn）
因為p可逆，設p=(α1，α2，…，αn)，如果αi是a的特徵向量。
那麼上面相似的定義就是
a(α1，α2，…，αn) = (λ1α1，λ2α2，…，λnαn)
= (α1，α2，…，αn)diag(λ1，λ2，…，λn）
這也就說明了我們求相似矩陣中的p，其過程是求解a的特徵向量了。
也說明了為什麼相似對角陣的元素是a的特徵值了。
正是由於上面的定義造成的。
也就是說只有當p的列向量是a的特徵向量時，上述相似對角陣定義才成立。
因為要求p可逆，所以p的n個列向量必須線性無關。也就是a的特徵向量必然線性無關。
否則p不可逆，則相似定義不成立，當然也就不可以相似對角陣了。
newmanhero 2015年5月24日22:32:58
希望對你有所幫助，望採納。
判別一個矩陣是否相似於對角矩陣。
1.是否是實對稱矩陣，實對稱矩陣必相似於對角矩陣。
2.特徵值是否有單根，若有，則相似於對角矩陣。
3.r重根是否有r個線性無關的特徵向量，有則相似於對角矩陣。
可以，你說的是兩個特徵值相同，而不是兩個特徵向量相同
n階方陣a具有n個不同的特徵值是a與對角陣相似的______條件
n階方陣a具有n個不同的特徵值是a與對角陣相似的充分條件。
n階方陣a與對角矩陣相似的充專要條件屬a有n個線性無關的特徵向量，而特徵值不同特徵向量一定不同，由n階方陣a具有n個不同的特徵值可以推出a與對角陣相似，所以n階方陣a具有n個不同的特徵值是a與對角陣相似的充分條件。
但反之，則不一定成立。a與對角陣相似，特徵值可能不同，也有可能出現相同的情況，只要滿足a有n個線性無關的特徵向量即可，所以n階方陣a具有n個不同的特徵值不是a與對角陣相似的必要條件。
擴充套件資料判斷兩個矩陣是否相似的輔助方法
1、判斷特徵值是否相等；
2、判斷行列式是否相等；
3、判斷跡是否相等；
4、判斷秩是否相等。
以上條件可以作為判斷矩陣是否相似的必要條件，而非充分條件。
（兩個矩陣若相似於同一對角矩陣，這兩個矩陣相似。）
由於“n階方陣a與對角矩陣相似的充要條件a有n個線性無關的特徵向量”，而內a具有n個不同的特徵值，
容則a一定有n個線性無關的特徵向量
因此，n階方陣a具有n個不同的特徵值?a與對角矩陣相似但反之，不一定成立
如：a＝?21
1020
413，a相似於?12
2，但a只有兩個不同的特徵值-1和2
從而n階方陣a具有n個不同的特徵值是a與對角陣相似的充分條件．故填“充分”
關於矩陣可相似對角化條件的判定的疑問
n階方陣可進行對角化的充分必要條件是：
1.n階方陣存在n個線性無關的特徵向量
推論：如果這個n階方陣有n個不同的特徵值,那麼矩陣必然存在相似矩陣
2.如果階n方陣存在重複的特徵值,每個特徵值的線性無關的特徵向量的個數恰好等於該特徵值的重 複次數
現在從矩陣對角化的過程中,來說說這個條件是怎麼來的.
在矩陣的特徵問題中,特徵向量有一個很好的性質,即aa=λa.
假設一種特殊的情形,a有n個不同的特徵值λi,即aai=λi*ai.令矩陣p=[a1 a2 … an]
這樣以來ap=a*[a1 a2 … an]=[a*a1 a*a2 … a*an]=[λ1*a1 λ2*a2 … λn*an]=p*b,其中b是對角陣.
b＝λ1 0 0 …
0 λ2 0 …
0 0 0 λn
由於不同特徵值對應的特徵向量是線性無關的,那麼p是可逆矩陣,將上面等式換一種描述就是a＝p*b*p-1 ,這也就是a相似與對角陣b定義了.
在這個過程中,a要能對角化有兩點很重要：
p是怎麼構成的?p由n個線性無關的向量組成,並且向量來自a的特徵向量空間.
p要滿足可逆.什麼情況下p可逆?
矩陣可對角化的條件,其實就是在問什麼情況下p可逆?
如果a由n個不同的特徵值,1個特徵值－對應1個特徵向量,那麼就很容易找到n個線性無關的特徵向量,讓他們組成p；
但是如果a有某個λ是個重根呢?比如λ＝3,是個3重根.我們 知道對應的特徵方程(3i－a)x＝0不一定有3個線性無關的解.
如果λ＝3找不到3個線性無關的解,那麼a就不能對角化了,這是因為能讓a對角化的p矩陣不存在.
擴充套件資料：
設m為元素取自交換體k中的n階方陣，將m對角化，就是確定一個對角矩陣d及一個可逆方陣p，使m=pdp-1。設f為典範對應於m的kn的自同態，將m對角化，就是確定kn的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。
數值分析的主要分支致力於開發矩陣計算的有效演算法，這是一個幾個世紀以來的課題，是一個不斷擴大的研究領域。 矩陣分解方法簡化了理論和實際的計算。 針對特定矩陣結構（如稀疏矩陣和近角矩陣）定製的演算法在有限元方法和其他計算中加快了計算。
無限矩陣發生在行星理論和原子理論中。 無限矩陣的一個簡單例子是代表一個函式的泰勒級數的導數運算元的矩陣。
主條目：特徵值，特徵向量
旋轉矩陣（rotation matrix）是在乘以一個向量的時候有改變向量的方向但不改變大小的效果的矩陣。旋轉矩陣不包括反演，它可以把右手座標系改變成左手座標系或反之。所有旋轉加上反演形成了正交矩陣的集合。
旋轉矩陣是世界上著名的彩票專家、澳大利亞數學家底特羅夫研究的，它可以幫助您鎖定喜愛的號碼，提高中獎的機會。
首先您要先選一些號碼，然後，運用某一種旋轉矩陣，將你挑選的數字填入相應位置。如果您選擇的數字中有一些與開獎號碼一樣，您將一定會中一定獎級的獎。當然運用這種旋轉矩陣，可以最小的成本獲得最大的收益，且遠遠小於複式投注的成本。
旋轉矩陣的原理在數學上涉及到的是一種組合設計：覆蓋設計。而覆蓋設計，填裝設計，斯坦納系，t-設計都是離散數學中的組合優化問題。
它們解決的是如何組合集合中的元素以達到某種特定的要求。
n階矩陣有n個特徵值，每個特徵值有無數個特徵向量，但是線性無關的特徵向量個數不超過對應特徵值的重根次數；
k重特徵值對應的特徵向量無關數目不可能大於k
定理：n階矩陣a相似對角化的充要條件是a有n個線性無關的特徵向量。
推論：若n階矩陣a有n個不同的特徵值，則矩陣a可相似對角化。說的是有n個不同的特徵值就一定能相似對角化，而沒有n個不同的特徵值只是有可能相似對角化，不能確定。
當矩陣a有兩個或兩個以上相同的特徵值時，就要看無關特徵向量的個數，若有n個不同的特徵向量就能相似對角化。
