我用自己的語言說，希望能方便你明白
矩陣對角化源自於線形變換的化簡，所以最好先知道線性變換和線性變換與矩陣的對應關係（當然你看下去會發現不知道也可以）
設一線性變換a，在基m下的矩陣為a，在基n下的矩陣為b，m到n的過度矩陣為x，
那麼可以證明：b=x’ax
（x’是x的轉置，注意x是滿秩的）
那麼定義：a，b是2個矩陣。如果存在可逆矩陣x，滿足b=x’ax，那麼說a與b是相似的（是一種等價關係）。
如果存在可逆矩陣x使a相似與一個對角矩陣b，那麼說a可對角化。
相應的，如果線性變換a在基m下的矩陣為a，並且a相似於對角矩陣b，那麼另x為過度矩陣即可求出基n，並且在n下線性變換a的矩陣為對角矩陣，從而達到了化簡。
設一線性變換a，在基m下的矩陣為a，在基n下的矩陣為b，m到n的過度矩陣為x，
那麼可以證明：b=x（–1）ax
那麼定義：a，b是2個矩陣。如果存在可逆矩陣x，滿足b=x（–1）ax
，那麼說a與b是相似的（是一種等價關係）。
如果存在可逆矩陣x使a相似與一個對角矩陣b，那麼說a可對角化。
相應的，如果線性變換a在基m下的矩陣為a，並且a相似於對角矩陣b，那麼另x為過度矩陣即可求出基n，並且在n下線性變換a的矩陣為對角矩陣，從而達到了化簡。套吧
如何判斷一個矩陣是否可對角化
如果所有特徵根都不相等，絕對可以對角化，有等根，只需要等根（也就是重特徵值）對應的那幾個特徵向量是線性無關的，那麼也可以對角化，如果不是,那麼就不能了。
矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。
1、判斷方陣是否可相似對角化的條件：
(1)充要條件：an可相似對角化的充要條件是：an有n個線性無關的特徵向量;
(2)充要條件的另一種形式：an可相似對角化的充要條件是：an的k重特徵值滿足n-r(λe-a)=k
(3)充分條件：如果an的n個特徵值兩兩不同，那麼an一定可以相似對角化;
(4)充分條件：如果an是實對稱矩陣，那麼an一定可以相似對角化。
n階單位矩陣的所有特徵值都是1，但是它仍然有n個線性無關的特徵向量，因此單位矩陣可以對角化。
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相關推論
1、若有n個不同的特徵值，則a可對角化。因為複數域上的n次多項式恰有n個根，所以我們還有下面的推論。
2、如果a的特徵多項式在複數域上的根互不相等，那麼a作為複數域上的矩陣一定可以對角化。
3、如果
是的所有互不相同的特徵值，各特徵子空間
的基排列如下：
那麼上述特徵向量組線性無關，從而特徵子空間的和是直和。
n級矩陣a可對角化＜=＞a的屬於不同特徵值的特徵子空間維數之和為n.
實際判斷方法：（1）先求特徵值,如果沒有相重的特徵值,一定可對角化；
（2）如果有相重的特徵值λk,其重數為k,那麼你通過解方程（λke-a）x=0得到的基礎解系中的解向量若也為k個,則a可對角化,若小於k,則a不可對角化.
此外,實對稱矩陣一定可對角化.
你可以對照課本上的例題或習題.
將矩陣a的特徵多項式完全分解， 求出a的特徵值及其重數，若k重特徵值都有k個線性無關的特徵向量，則a可對角化。否則不能對角化。
舉例說明：
看這個矩陣是否能對角化，暫且把這個定義成a矩陣。
需要用到一個公式，如下圖所示，我們這一步就是直接按照公式套入就可以了。
得出這個算式的指，也就是這個行列式的特徵根。
對這兩個根進行討論，然後求出來基礎解系，然後我們根據基礎解系來判斷是否能夠進行對角化。
簡單分析一下即可，詳情如圖所示例如
事實證明3×4不能變成3×3
如何判斷一個矩陣是否可對角化？
n階矩陣a相似抄
於對角矩陣的bai充要條件是a有n個線性
du無關的特徵向量。zhi
若n階矩陣a有n個不同的特徵值，則
daoa必能相似於對角矩陣。當a的特徵方程有重根時，就不一定有n個線性無關的特徵向量，從而未必能對角化。
設m為元素取自交換體k中的n階方陣，將m對角化，就是確定一個對角矩陣d及一個可逆方陣p，使m=pdp-1。設f為典範對應於m的kn的自同態，將m對角化，就是確定kn的一個基，使在該基中對應f的矩陣是對角矩陣。
將矩陣a的特徵多項式完全分解，求出a的特徵值及其重數，若k重特徵內值都有k個線性無關的特徵向量，容
則a可對角化；否則不能角化。
對角化的前提是a存在n個線性無關的特徵向量，n階單位矩陣的所有特徵值都是1，但是它仍然有n個線性無關的特徵向量，因此單位矩陣可以對角化。
實對稱矩陣總可對角化，且可正交對角化。
對於一個矩陣來說，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關的特徵向量，則該矩陣可被對角化。
如果copy所有特徵根都不相等，絕對可以對bai角化，有等du根，只需要等根（也zhi就是重特徵值）對應的那幾個dao特徵向量是線性無關的，那麼也可以對角化，如果不是,那麼就不能了。
矩陣於電路學、力學、光學和量子物理中都有應用；電腦科學中，三維動畫製作也需要用到矩陣。 矩陣的運算是數值分析領域的重要問題。
將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如稀疏矩陣和準對角矩陣，有特定的快速運算演算法。
如何判斷一個矩陣是否可對角化？？
將矩陣a的特徵多項式完全分解, 求出a的特徵值及其重數若k重特徵值都有k個線性無關的特徵向量, 則a可對角化.
否則不能角化.
實對稱矩陣總可對角化, 且可正交對角化.
如何判斷一個矩陣是否可對角化？？
求n階矩陣a的特徵向量，有特徵向量=（λ1，λ2，…… ，λn）：
當λ1 ≠ λ2 ≠ λ3 ≠ …… ≠ λn，則可對角化
有 m?個特徵值?λ’?相等，帶入(λ’e-a)x=0求得線性無關特徵向量，有
（一）線性無關特徵向量個數 m時，不可對角化，
（二）線性無關特徵向量個數 = m時，可對角化
等同於：（ r(a)為 矩陣a 的秩 ）
（一）階數n – r(λ’e-a) 時，不可對角化，
（二）階數n – r(λ’e-a) = m時，可對角化
n級矩陣a可對角化＜=＞a的屬於不同特徵值的特徵子空間維數之和為n.
實際判斷方法：（1）先求特徵值,如果沒有相重的特徵值,一定可對角化；
（2）如果有相重的特徵值λk,其重數為k,那麼你通過解方程（λke-a）x=0得到的基礎解系中的解向量若也為k個,則a可對角化,若小於k,則a不可對角化.
此外,實對稱矩陣一定可對角化.
你可以對照課本上的例題或習題.
將矩陣a的特徵多項式完全分解,
求出a的特徵值及其重數
若k重特徵值都有k個線性無關的特徵向量,
則a可對角化.
否則不能角化.
實對稱矩陣總可對角化,
且可正交對角化.
什麼樣的矩陣可對角化？
定理1 階矩陣可對角化的充分必要條件是有個線性無關的特徵向量。若 階矩陣定理2 矩陣 的屬於不同特徵值的特徵向量是線性無關的。
推論1 若 階矩陣有個互不相同的特徵值，則可對角化定理5 階矩陣可對角化的充分必要條件是：的每個特徵值對應的特徵向量線性無關的最大個數等於該特徵值的重數(即的每個特徵值對應的齊次線性方程組的基礎解系所含向量個數等於該特徵值的重數,也即的每個特徵子空間的維數等於該特徵值的重數）。
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